Alexander Voigt wuchs in Halle/S. und in Havanna auf. Er studierte klassischen Gesang an der Hochschule für Musik und Theater Leipzig. Ein Gast-Engagement führte ihn während des Studiums an die Oper Leipzig. Daraus folgte von 2004 bis 2011 ein Engagement ins Ensemble der Oper Leipzig, wo er seine Vielseitigkeit als junger Tenor in allen Bereichen des Musiktheaters, Oper, Operette und Musical, ausbauen konnte. In den darauffolgenden Spielzeiten war Alexander Voigt Gast an den Theatern Görlitz und Nordhausen, am Staatstheater Cottbus. Zahlreiche Opern- und Operettenkonzerte, wie auch Chansonabende führten ihn u. a. zur Operettengala des ARD-Fernsehens nach Wittenberge, zum Classic-Open-Air am Gendarmenmarkt in Berlin, ins Gewandhaus Leipzig, zu den Opernfestspielen Wernigerode und Bad Hersfeld, sowie 2013 zum Bettelstudent zu den Seefestspielen Mörbisch. Im Sommer 2014 war er Ensemblemitglied des Niederösterreichischen Landestheater Baden/Wien und in der Operette Giuditta von Franz Lehár als Pierrino zu sehen. Die Konzertreihe Die große Galanacht der Operette führte ihn durch ganz Deutschland.
In der Spielzeit 2012/13 gehörte Alexander Voigt zum Musiktheaterensemble von Theater&Philharmonie Thüringen. In der Spielzeit 2014/15 gastierte er hier als John Utterson im Musical Jekyll & Hyde und seit Beginn der Spielzeit 2015/16 ist er wieder festes Ensemblemitglied in Altenburg und Gera.
Von Musical über Operette bis hin zum Opernfach, Alexander Voigt ist seitdem in vielen verschiedenen Genres zu erleben. So z. B. in den Musicals Chess als The Arbiter oder als Jamie in Die letzten fünf Jahre, in den Opern Rosenkavalier als Valzacchi, als Kilian in Der Freischütz und als Stäblein in der Opernwiederentdeckung Rübezahl und der Sackpfeifer von Neiße doch auch als Janczy in der Operette Viktoria und ihr Husar.